数値流体解析のための数学#1

#1は「テイラー展開と近似手法」をお勉強します。

尚、ここでのお勉強は下記の教科書に基づいて行っております。

①テイラー展開とは

ある関数f(x)が値aをとる場合、aの付近において以下の多項式で近似できる。

$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 ＋・・・＋ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n ＋・・・ $ (1)

これは、f(x)という関数全体を多項式で近似する事はできないが、

値aの付近であれば、多項式で近似できる事を示している。

(1)式において、aをxに、xを$x+\Delta{x}$で置き換える。

$f(x+\Delta{x}) = f(x) + \frac{f'(x)}{1!}(\Delta{x}) + \frac{f''(x)}{2!}(\Delta{x})^2 ＋・・・＋ \frac{f^{(n)}(x)}{n!}(\Delta{x})^n ＋・・・ $ (2)

②テイラー展開の離散化

テイラー展開を用いて離散化近似式をつくる。

つまり、関数f(x)を機知の離散点上の値を利用して記述する事を考える。

$f(x-\Delta{x}) = q_{j-1}$、$f(x) = q_{j}$、$f(x+\Delta{x}) = q_{j+1}・・・$と離散化して考える場合、

以下の式が得られる。

$q_{j+1} = q_{j} + \Delta{x} \frac{\partial q_{j}}{\partial x} + \frac{1}{2} (\Delta{x})^2 \frac{\partial^2 q_{j}}{\partial x^2} + \frac{1}{6} (\Delta{x})^3 \frac{\partial^3 q_{j}}{\partial x^3} + ・・・$ (3)

$q_{j-1} = q_{j} - \Delta{x} \frac{\partial q_{j}}{\partial x} + \frac{1}{2} (\Delta{x})^2 \frac{\partial^2 q_{j}}{\partial x^2} - \frac{1}{6} (\Delta{x})^3 \frac{\partial^3 q_{j}}{\partial x^3} + ・・・$ (4)

③２次精度中心差分

(3)式から(4)式を引いて$\frac{\partial q_{j}}{\partial x}$について解く

$\frac{\partial q_{j}}{\partial x} = \frac{q_{j+1} - q_{j-1}}{2 \Delta{x}} + O(\Delta{x}^2)$

$O(\Delta{x}^2)$は、2次以上の高次項を無視する事を示している。

この様な近似を「2次精度近似」と呼ぶ。

また、jを中心に、左右に対称な値を利用する事から「中心差分」と呼ぶ。

④2階微分の２次精度中心差分

(3)式と(4)式を足して$\frac{\partial^2 q_{j}}{\partial x^2}$について解く

$\frac{\partial^2 q_{j}}{\partial x^2} = \frac{q_{j+1} - 2 q_{j} + q_{j-1}}{ (\Delta{x})^2} + O(\Delta{x}^2)$